Pour mettre en équation un énoncé du sous-test Calcul du test TAGE MAGE®, nommez l’inconnue, traduisez chaque phrase en relation, comptez équations et inconnues, puis résolvez et relisez ce que la question demande. Sur sa page Sous-tests, la FNEGE situe « la difficulté principale » de l’épreuve dans cette mise en forme des données, « en particulier sous forme d’équations ». Le sous-test pose 15 questions en 20 minutes, sans calculatrice.
L’essentiel
- Difficulté principale
- Mise en forme des donnéesen particulier sous forme d’équations, selon la page Sous-tests de la FNEGE
- Systèmes d’équations
- 3 inconnues au plusselon le livret du candidat, page 21
- Rythme
- 15 questions en 20 minutessoit 80 secondes par question en moyenne
- Réponses proposées
- 5 par questionune seule est correcte
- Calculatrice
- Interditeseul le stylo est autorisé
Source : tagemage.fr (FNEGE). Vérifié le .
Ce que la FNEGE dit évaluer
La description du Calcul tient en un paragraphe de la page Sous-tests du site de la FNEGE. On y lit que « la plupart des questions sont écrites en langage courant » et que « la difficulté principale consiste alors à mettre en forme les données de l’énoncé, en particulier sous forme d’équations, afin de pouvoir résoudre le problème posé ». Le texte distingue ensuite deux compétences et désigne la seconde comme « plus importante » : la capacité à formuler « sous forme mathématique, un problème énoncé en langage courant ».
Les savoirs demandés sont, selon la même page, des « connaissances simples dans les domaines de l’arithmétique, de la géométrie et de l’algèbre ». Leur liste détaillée se trouve dans le guide qui recense les notions de calcul au programme.
Entraînez-vous donc à traduire autant qu’à calculer. L’équation 5x − 6 = 129 se résout en deux opérations. L’écrire à partir d’un énoncé rédigé demande de repérer la grandeur cherchée et de traduire chaque comparaison, avant tout calcul.
Quatre temps
Les quatre gestes se font dans le même ordre, quel que soit l’énoncé.
- Nommer l’inconnue : écrire en toutes lettres ce que représente x, avec son unité, avant toute relation.
- Traduire en relation chaque phrase qui contient un nombre ou une comparaison.
- Compter les équations et les inconnues : il en faut autant, sauf si la question porte sur une combinaison des inconnues.
- Résoudre, puis relire la dernière phrase de l’énoncé et donner la grandeur demandée, dans son unité.
Prenez cet énoncé, écrit pour ce guide. Un libraire range 129 livres sur trois étagères ; la deuxième en porte deux fois plus que la première, et la troisième 6 de moins que la deuxième ; on demande combien de livres porte la troisième étagère.
Premier temps : x désigne le nombre de livres de la première étagère. Deuxième temps : la deuxième en porte 2x, la troisième 2x − 6, et le total s’écrit x + 2x + (2x − 6) = 129. Troisième temps : une équation pour une inconnue, le compte est bon. Quatrième temps : 5x − 6 = 129 donne 5x = 135 et x = 27, mais la question porte sur la troisième étagère, qui compte 2 × 27 − 6 = 48 livres. Le contrôle se fait sur l’énoncé, pas sur l’équation : 27 + 54 + 48 = 129.
Chaque temps a son erreur type. Au premier, x finit par désigner deux grandeurs à la fois. La traduction du deuxième change « deux fois plus que la première » en x + 2 au lieu de 2x. Le troisième laisse passer une phrase de l’énoncé qui n’a produit aucune relation, et le quatrième fait cocher 27, la valeur de x, alors que l’énoncé demande la troisième étagère.
Le troisième temps vaut aussi hors du Calcul. Dans les Conditions minimales, compter les relations et les inconnues sert à décider si une information suffit, sans résoudre.
Quand vous corrigez une série, notez à quel temps chaque erreur est née. Une erreur du quatrième temps se corrige en relisant la question, et refaire de l’algèbre n’y change rien. Ce relevé sert aussi de point de départ à des séances individuelles centrées sur vos erreurs, si vous préparez le test avec un enseignant.
Choisir l’inconnue qui simplifie
Dans l’exemple des étagères, prendre pour inconnue la deuxième étagère, y, donne une première étagère de y/2 livres et l’équation y/2 + y + (y − 6) = 129. On retrouve 54 et 48, mais en passant par une fraction. Prenez pour inconnue la plus petite des grandeurs reliées par « fois » : les autres s’écrivent alors par des multiplications.
Le même souci guide le choix quand l’énoncé parle de parts. Un randonneur parcourt le tiers d’un sentier le matin, puis les trois quarts de ce qui lui reste l’après-midi ; il a encore 5 km à faire. Avec x, la longueur du sentier en kilomètres, il reste 2x/3 après le matin, l’après-midi en couvre les trois quarts, soit x/2, et l’on écrit x/3 + x/2 + 5 = x. En multipliant chaque terme par 6, il vient 2x + 3x + 30 = 6x, donc x = 30. Posez plutôt la longueur égale à 6u : 6 se divise par 3, et ce qui reste après le matin, 4u, se divise par 4. Le matin couvre 2u, l’après-midi les trois quarts de 4u, soit 3u, et il reste u, qui vaut 5 km : le sentier mesure 30 km. Aucune fraction n’apparaît, et le contrôle se lit sur une ligne, 10 km le matin, 15 km l’après-midi, 5 km restants.
Quand aucune fraction n’est à craindre, prenez pour inconnue la grandeur que la question demande. La résolution donne alors directement la réponse, et l’erreur du quatrième temps disparaît.
Une relation de base par famille d’énoncés
Pour s’entraîner, nous rangeons les problèmes rédigés en cinq familles, chacune avec une relation à écrire dès la première lecture et un piège qui lui est propre. Ce classement est le nôtre. La page Sous-tests de la FNEGE ne dresse aucune liste de types d’énoncés, et ce découpage ne dit rien de ce qu’une session contiendra.
| Famille | Relation de base | Piège à surveiller |
|---|---|---|
| Âges | L’écart entre deux âges ne change jamais ; dans n ans, chaque âge augmente de n, et la somme de deux âges de 2n | Ajouter les n années à un seul des deux âges |
| Partages | Des parts proportionnelles à 2, 3 et 7 s’écrivent 2k, 3k et 7k, et leur somme vaut le total | Répondre par k, ou par une seule part, quand la question demande le total |
| Mélanges | La quantité de produit pur ne change pas quand on ajoute de l’eau : concentration × volume reste constant | Retrancher un pourcentage de l’autre au lieu de suivre la quantité pure |
| Vitesses | Distance = vitesse × temps, dans les mêmes unités ; deux mobiles qui vont l’un vers l’autre se rapprochent à la somme de leurs vitesses | Faire la moyenne de deux vitesses : un aller à 12 km/h et un retour à 36 km/h donnent 18 km/h de moyenne, et non 24 |
| Travail à plusieurs | Qui finit un travail en t heures en accomplit 1/t par heure ; les fractions de deux personnes s’additionnent | Additionner les deux durées, ou en faire la moyenne |
Faites défiler le tableau vers la droite.
Le piège des vitesses se démonte en donnant au trajet une longueur commode, que l’énoncé ne fixe pas et qui disparaît du résultat : prenez un multiple des deux vitesses. Avec un trajet de 36 km, l’aller dure 3 heures et le retour 1 heure ; 72 km en 4 heures font 18 km/h. La moyenne des deux vitesses suppose que l’on roule aussi longtemps à chacune, alors que l’aller prend trois fois plus de temps que le retour.
Identifiez la famille dès la première phrase de l’énoncé, et écrivez sa relation de base avant même de choisir l’inconnue. Un problème de mélange commence par le calcul de la quantité pure, un problème de travail par la fraction accomplie en une heure.
Trois inconnues au plus
Le livret du candidat de la FNEGE, consultable depuis sa page Livret du candidat, cite à la page 21, parmi les champs de connaissance requis en Calcul, le « système d’équations (3 inconnues maximum) ». Quand l’énoncé fait intervenir trois grandeurs inconnues, écrivez-les toutes en fonction d’une seule avant de poser l’équation finale. Trois équipes réunissent 64 membres ; la deuxième en compte 4 de plus que la première, et la troisième deux fois plus que la deuxième ; on cherche l’effectif de chaque équipe.
La deuxième équipe figure dans les deux comparaisons : prenez-la pour inconnue, b. La première compte b − 4 membres, la troisième 2b, et le total s’écrit (b − 4) + b + 2b = 64, soit 4b = 68 et b = 17. Les deux autres équipes comptent 13 et 34 membres, et la somme 13 + 17 + 34 redonne 64. Partir de la première équipe, a, mène au même résultat : la deuxième vaut a + 4, la troisième 2a + 8, puis 4a + 12 = 64 et a = 13. Refaire le calcul depuis une autre inconnue est un contrôle qui ne reprend aucune opération du premier.
Quand deux relations portent sur les mêmes grandeurs, comparez d’abord leurs coefficients. Avec x + y = 12 et x + 3y = 20, la différence des deux lignes donne 2y = 8, donc y = 4 et x = 8 ; la substitution x = 12 − y mène au même couple en une ligne de plus. S’il vous reste une équation pour deux inconnues, relisez l’énoncé : une phrase n’a pas été traduite, ou la question porte sur une combinaison, comme x + y, que l’équation donne sans fixer x ni y.
Quand tester les réponses va plus vite
Chaque question propose « 5 réponses dont une seule est correcte », selon la page Présentation générale de la FNEGE. Quand ces réponses sont des valeurs possibles de l’inconnue, vous pouvez les remplacer dans l’énoncé au lieu de résoudre. Rangez-les dans l’ordre croissant et commencez par celle du milieu : si le résultat obtenu est trop petit et qu’il augmente avec l’inconnue, les deux plus petites réponses sont écartées avec elle, et il n’en reste que deux.
Un nombre, augmenté de son tiers puis diminué de 7, donne 33 ; les réponses proposées sont 21, 24, 27, 30 et 36. La médiane donne 27 + 9 − 7 = 29, trop peu, ce qui écarte 21 et 24. L’essai suivant, 30, donne 30 + 10 − 7 = 33. Deux essais de tête suffisent, une vingtaine de secondes en tout, et si 30 avait échoué, 36 restait seul en lice : une seule réponse est correcte.
L’équation x + x/3 − 7 = 33 mène au même 30, par 4x/3 = 40, mais avec une fraction à manier et trois lignes à écrire.
Essayer les réponses fait gagner encore plus de temps devant une équation du second degré. Deux entiers consécutifs ont pour produit 342, et l’on demande le plus petit parmi 16, 17, 18, 19 et 21 : la médiane donne 18 × 19 = 342 du premier coup, alors que la résolution de x² + x − 342 = 0 passe par un discriminant de 1 369.
Résolvez au contraire quand les réponses ne sont pas des valeurs de l’inconnue, comme un rapport ou une différence entre deux grandeurs, quand elles sont très proches les unes des autres, ou quand chaque essai demande plus de deux opérations. L’équation reste alors plus courte que trois essais.
Cinq énoncés résolus
Ces exercices sont écrits pour ce guide, un par famille du tableau. Faites-les sans calculatrice : la FNEGE la range dans le « matériel électronique » interdit sur sa page Conseils, et son règlement précise que « l’utilisation de tout document ou matériel en dehors du stylo est interdite ». Notez votre temps avant d’ouvrir chaque corrigé. Avec 80 secondes par question en moyenne sur le sous-test, nous visons une minute pour les trois premiers énoncés et 90 secondes pour les deux derniers, qui demandent une relation de plus.
Énoncé 1 : âges
Une mère a 34 ans et son fils 8 ans. Dans combien d’années l’âge de la mère sera-t-il le triple de celui de son fils ?
- 3 ans
- 5 ans
- 6 ans
- 10 ans
- 13 ans
Corrigé
Inconnue : n, le nombre d’années à attendre. Dans n ans, la mère aura 34 + n ans et le fils 8 + n ans, et « le triple » s’écrit 34 + n = 3(8 + n). Une équation, une inconnue. On développe : 34 + n = 24 + 3n, donc 2n = 10 et n = 5. Contrôle : dans 5 ans, la mère aura 39 ans et le fils 13 ans, et 39 = 3 × 13. Réponse B.
Par l’écart, sans équation : la mère a toujours 26 ans de plus que son fils. Quand elle a le triple de son âge, cet écart vaut deux fois l’âge du fils, qui aura donc 13 ans, dans 13 − 8 = 5 ans. La réponse E est cet âge de 13 ans ; la réponse D, 10, oublie de diviser par 2. Temps visé : une minute.
Énoncé 2 : partage
Un prix est partagé entre trois équipes proportionnellement à leurs effectifs, de 4, 5 et 9 membres. La plus grande équipe reçoit 1 500 € de plus que la plus petite. Quel est le montant total du prix ?
- 2 700 €
- 3 000 €
- 4 500 €
- 5 400 €
- 6 000 €
Corrigé
Inconnue : k, la somme versée pour chaque membre. Les trois équipes reçoivent 4k, 5k et 9k, et l’écart entre la plus grande et la plus petite s’écrit 9k − 4k = 1 500, soit 5k = 1 500 et k = 300. La question porte sur le total, 4k + 5k + 9k = 18k = 5 400 €. Contrôle : 1 200 + 1 500 + 2 700 = 5 400, et 2 700 − 1 200 = 1 500. Réponse D.
La réponse A, 2 700 €, est la part de la plus grande équipe : c’est l’erreur du quatrième temps. Temps visé : une minute.
Énoncé 3 : mélange
Une boisson de 10 litres contient 24 % de jus de fruits, le reste étant de l’eau. Combien de litres d’eau faut-il ajouter pour que le jus ne représente plus que 15 % du volume ?
- 4 litres
- 5 litres
- 6 litres
- 9 litres
- 16 litres
Corrigé
Inconnue : x, le nombre de litres d’eau ajoutés. La quantité de jus ne change pas : 24 % de 10 litres, soit 2,4 litres. Après l’ajout, le volume vaut 10 + x litres et le jus en représente 15 % : 0,15 × (10 + x) = 2,4. On divise : 10 + x = 2,4 ÷ 0,15 = 16, donc x = 6. Contrôle : 2,4 litres de jus dans 16 litres font bien 15 %. Réponse C.
Autre chemin : la part du jus passe de 24 % à 15 %, donc le volume est multiplié par 24 ÷ 15 = 1,6 et atteint 16 litres. La réponse D vient de 24 − 15 = 9 ; la réponse E est le volume final. Temps visé : une minute.
Énoncé 4 : vitesse
Un train part de la ville A à 8 heures et roule vers la ville B à 120 km/h. Un second train part de B à 9 heures et roule vers A à 150 km/h. Les deux villes sont distantes de 390 km. À quelle heure les trains se croisent-ils ?
- 9 h 30
- 10 heures
- 10 h 20
- 10 h 30
- 11 heures
Corrigé
Inconnue : t, le nombre d’heures écoulées depuis 8 heures au moment du croisement. Le premier train a parcouru 120t km, le second, parti une heure plus tard, 150(t − 1) km. Au croisement, les deux distances totalisent 390 km : 120t + 150(t − 1) = 390. On développe : 270t − 150 = 390, donc 270t = 540 et t = 2, soit un croisement à 10 heures. Contrôle : 240 km pour le premier train, 150 km pour le second, 390 km en tout. Réponse B.
Autre chemin : à 9 heures, le premier train a fait 120 km ; les 270 km restants se réduisent de 120 + 150 = 270 km par heure, ce qui demande une heure de plus. Temps visé : 90 secondes.
Énoncé 5 : travail à deux
Léo repeint seul une clôture en 6 heures, Nina en 4 heures. Léo commence seul ; une heure plus tard, Nina le rejoint et ils finissent ensemble. Combien de temps le chantier dure-t-il en tout ?
- 2 h 24
- 2 h 40
- 3 heures
- 3 h 24
- 5 heures
Corrigé
Inconnue : t, la durée du travail à deux, en heures. Léo repeint 1/6 de la clôture par heure, Nina 1/4. Après la première heure, il reste 5/6 de la clôture, que les deux repeignent à 1/6 + 1/4 = 5/12 par heure : (5/12) × t = 5/6, donc t = 2. Le chantier dure 1 + 2 = 3 heures. Contrôle : Léo a travaillé 3 heures, soit la moitié de la clôture, et Nina 2 heures, soit l’autre moitié. Réponse C.
Sans fraction : comptez la clôture en 12 parts, multiple commun de 6 et de 4. Léo en peint 2 par heure, Nina 3 ; après une heure, il reste 10 parts, peintes à 5 par heure en 2 heures. La réponse A, 2 h 24, est la durée d’un travail commencé à deux ; la réponse E, 5 heures, est la moyenne des deux durées. Temps visé : 90 secondes.
Refaites deux jours plus tard, sans le corrigé, chaque énoncé manqué ou résolu au-delà du double du temps visé. Si le retard vient du premier ou du deuxième temps, entraînez-vous à écrire l’inconnue et les relations sans résoudre, sur une dizaine d’énoncés de suite, jusqu’à ce que la traduction vienne en moins de 30 secondes par énoncé.
Questions fréquentes
Comment mettre un problème en équation ?
En quatre temps : nommez l’inconnue avec son unité, traduisez en relation chaque phrase qui contient un nombre ou une comparaison, vérifiez que vous avez autant d’équations que d’inconnues, puis résolvez et relisez la question pour donner la grandeur demandée. Sur sa page Sous-tests, la FNEGE situe la difficulté principale du Calcul dans la mise en forme des données de l’énoncé, en particulier sous forme d’équations.
Combien d’inconnues peut-il y avoir dans un problème du TAGE MAGE ?
Trois au plus dans un système d’équations : à sa page 21, le livret du candidat de la FNEGE cite parmi les champs de connaissance requis en Calcul le « système d’équations (3 inconnues maximum) ». S’il reste plus d’inconnues que d’équations, une phrase n’a pas été traduite, ou la question porte sur une combinaison des inconnues, comme leur somme. Écrivez toutes les grandeurs en fonction de celle qui revient dans le plus de phrases : il ne reste alors qu’une inconnue à trouver.
Vaut-il mieux résoudre ou tester les réponses ?
Testez quand les cinq réponses sont des valeurs de l’inconnue et qu’un essai se fait de tête : rangez-les dans l’ordre croissant et commencez par celle du milieu, qui, si elle échoue, écarte aussi les deux réponses situées du mauvais côté. Résolvez quand les réponses sont des rapports ou des différences, quand elles sont très proches, ou quand chaque essai demande plus de deux opérations.
Sources : FNEGE, pages « Sous-tests », « Livret du candidat », « Présentation générale », « Conseils » et « Règlement » du site tagemage.fr ; page 21 du livret du candidat, lue dans sa visionneuse en ligne. Pages consultées le 18 octobre 2026.
