Les pourcentages du sous-test Calcul, des coefficients aux taux d’évolution

Au sous-test Calcul du test TAGE MAGE®, traitez chaque pourcentage comme un coefficient multiplicateur : augmenter une quantité de 12 % revient à la multiplier par 1,12, la diminuer de 12 % à la multiplier par 0,88. Deux évolutions successives se combinent en multipliant leurs coefficients, jamais en additionnant leurs taux, si bien qu’une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96 et laisse la quantité 4 % sous son niveau de départ. Le livret du candidat de la FNEGE range « pourcentage et proportion » parmi les champs de connaissance du Calcul, et les Conditions minimales reposent sur le même champ.

L’essentiel

Notion au programme

Pourcentage et proportionchamp de connaissance cité par le livret du candidat, page 21

Champ partagé

Calcul et Conditions minimalesmême champ de compétences, selon la FNEGE

Niveau

Classe de troisièmeseconde et première pour certaines questions, selon le livret

Calculatrice

Interditecomme tout matériel électronique

Ordre des questions

Non classées par difficultéconsigne du sous-test Calcul, livret page 21

Source : tagemage.fr (FNEGE). Vérifié le 18 octobre 2026.

Un pourcentage est un coefficient

Prendre 20 % d’une quantité revient à la multiplier par 0,2. Pour l’augmenter de 20 %, on garde la quantité entière et on lui ajoute ces 20 %, ce qui la multiplie par 1,2 ; la diminuer de 20 % la multiplie par 0,8. Avec un taux quelconque de t %, une hausse multiplie par 1 + t/100 et une baisse par 1 − t/100 ; ce nombre s’appelle le coefficient multiplicateur.

La calculatrice est interdite pendant le test : dans ses conseils aux candidats, la FNEGE la cite parmi le « matériel électronique » proscrit, et le livret du candidat le répète dans les consignes du Calcul.

Le coefficient se prête au calcul de tête. Il réduit une évolution à une seule multiplication, et il se lit dans les deux sens : 0,85 signale une baisse de 15 %, 1,4 une hausse de 40 %, 3 une hausse de 200 %. Le dernier cas demande une seconde lecture, car tripler une quantité, c’est l’augmenter de 200 %, et la doubler, l’augmenter de 100 %.

Faites défiler le tableau vers la droite.

La colonne des fractions sert au calcul de tête. Si une ligne de bus transporte 2 400 voyageurs par jour et que sa fréquentation augmente de 12,5 %, multipliez par 9/8 : 2 400 ÷ 8 = 300, puis 300 × 9 = 2 700 voyageurs. Par l’autre voie, 12,5 % de 2 400 font un huitième, soit 300, que l’on ajoute à 2 400. Les fractions à reconnaître sous leur forme de pourcentage sont réunies dans le guide sur les fractions et pourcentages à connaître de tête.

Évolutions successives

Quand deux évolutions se suivent, la seconde s’applique au résultat de la première, et l’on multiplie les coefficients. La fréquentation d’un musée monte de 30 % une année, puis recule de 10 % l’année suivante : le coefficient global vaut 1,3 × 0,9 = 1,17, soit une hausse de 17 %. Additionner les taux donnerait 20 %. Ce résultat est faux parce que la baisse de 10 % porte sur une fréquentation déjà augmentée. Pour le contrôler sans coefficient, partez de 100 visiteurs : 100 devient 130, puis 130 perd son dixième, 13, et il reste 117.

Une hausse et une baisse de même taux ne s’annulent jamais. Avec un taux t écrit sous forme décimale, les coefficients valent 1 + t et 1 − t, et leur produit, 1 − t², reste inférieur à 1 : la quantité finit sous son niveau de départ, d’autant plus bas que le taux est grand. L’écart vaut 1 % pour un taux de 10 %, 4 % pour 20 %, 25 % pour 50 %. L’ordre des deux évolutions ne change rien, puisqu’un produit ne dépend pas de l’ordre de ses facteurs : une baisse de 20 % suivie d’une hausse de 20 % mène aussi à 0,96.

Les évolutions répétées suivent la même règle. Deux hausses de 10 % multiplient par 1,1 × 1,1 = 1,21, soit 21 %, et trois hausses de 10 % par 1,331, soit 33,1 % : pour des hausses, le total dépasse la somme des taux. Pour des baisses, il reste en dessous, puisque deux baisses de 10 % multiplient par 0,81, soit une baisse de 19 %.

Une hausse répétée au même taux forme une progression géométrique, autre champ que le livret cite pour le Calcul : n hausses de 10 % multiplient par 1,1 élevé à la puissance n. La liste complète figure dans les notions du sous-test Calcul.

Retrouver la valeur de départ

Quand l’énoncé donne la valeur obtenue après une évolution, divisez-la par le coefficient. Une récolte qui pèse 5 100 kg après une baisse de 15 % pesait 5 100 ÷ 0,85 = 6 000 kg. La division se fait de tête si l’on écrit 0,85 sous forme de fraction : 0,85 = 17/20, et diviser par 17/20 revient à multiplier par 20/17, d’où 5 100 ÷ 17 = 300, puis 300 × 20 = 6 000. Vérifiez dans l’autre sens : 15 % de 6 000 font 900, et 6 000 − 900 = 5 100. Ajouter 15 % à 5 100 donnerait 5 865 kg, 135 kg sous la vraie valeur : les 15 % de la baisse portaient sur 6 000, et 15 % de 5 100 ne font que 765.

L’erreur inverse guette après une hausse. Une commune qui compte 5 400 habitants après une hausse de 8 % en comptait 5 400 ÷ 1,08 = 5 000, et non 5 400 − 432 = 4 968. De tête, 1,08 s’écrit 27/25, et 5 400 × 25/27 = 200 × 25 = 5 000.

La même division donne la hausse qui efface une baisse. Après une baisse de 40 %, une quantité vaut 0,6 fois sa valeur de départ ; pour y revenir, il faut la multiplier par 1 ÷ 0,6 = 5/3, soit une hausse des deux tiers, environ 66,7 %. Une baisse de 50 % ne s’efface qu’avec une hausse de 100 %.

Part, taux, points

Quand 20 % des membres d’une association ont moins de 25 ans, le pourcentage est une part, une partie rapportée à son tout à une date donnée. Quand le nombre de membres augmente de 20 %, c’est un taux d’évolution, qui compare une grandeur à elle-même entre deux dates. Entre deux parts, la soustraction donne un écart en points : si la part des moins de 25 ans passe de 20 % à 25 %, elle gagne 5 points, et elle augmente de 25 % en valeur relative, puisque 25 ÷ 20 = 1,25. Écrire qu’elle a augmenté de 5 % serait faux : 5 % de 20 %, c’est 1 point, et la part serait passée à 21 %. Avant de cocher, relisez la question pour savoir si elle demande un écart en points ou un taux.

Une part ne dit rien d’un effectif tant que le total n’est pas connu. Supposez que l’association passe de 400 à 300 membres pendant que la part des moins de 25 ans monte de 20 % à 25 % : ces jeunes membres passent de 80 à 75. Leur part a grimpé, leur nombre a baissé. Les coefficients le montrent sans compter les membres, car un effectif est le produit d’une part par un total : celui des jeunes membres est multiplié par 1,25 × 0,75 = 0,9375, soit une baisse de 6,25 %.

Un taux d’évolution se calcule en divisant la variation par la valeur de départ. De 400 à 300 membres, la variation vaut −100, et −100 ÷ 400 = −0,25 : le nombre de membres a baissé de 25 %. Le tiers obtenu en divisant par 300, la valeur d’arrivée, mesure le trajet inverse : de 300 à 400, la hausse vaut 100 ÷ 300, environ 33,3 %. Une baisse de 25 % se rattrape donc par une hausse d’un tiers.

Pourcentage d’un pourcentage

Prendre 20 % de 30 %, c’est multiplier 0,2 par 0,3, ce qui donne 0,06, soit 6 %. Un énoncé l’exprime par la tournure « d’entre eux » : 30 % des salariés d’une entreprise travaillent à l’export, et 20 % d’entre eux parlent allemand, donc 6 % des salariés travaillent à l’export et parlent allemand. Si l’énoncé écrivait « 20 % des salariés parlent allemand », la base serait l’ensemble des salariés, et l’on ne pourrait plus calculer la part de ceux qui cumulent les deux sans une information de plus.

Les problèmes de sous-populations additionnent ces produits. Une commune compte 60 % d’adultes et 40 % de mineurs ; 30 % des adultes et 55 % des mineurs se déplacent à vélo. La part des cyclistes dans la commune vaut 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,55 = 0,18 + 0,22 = 0,40, soit 40 %. Sur une base de 1 000 habitants, on compte 180 adultes et 220 mineurs à vélo, 400 en tout. La moyenne simple des deux taux, 42,5 %, ne convient pas, parce que les deux groupes n’ont pas la même taille. La part globale se trouve toujours entre les deux taux, plus près de celui du groupe le plus nombreux : 40 % est à 10 points de 30 % et à 15 points de 55 %. Ces distances sont dans le rapport inverse des effectifs, 15 à 10 comme 60 à 40, et la remarque se retourne quand l’énoncé donne la part globale et demande la taille d’un groupe. L’exercice 4 s’y prête.

Six exercices corrigés

Les six exercices vont du plus direct au plus long, alors qu’au test l’ordre n’aide pas : selon la consigne du Calcul, à la page 21 du livret, « les questions ne sont pas classées par ordre de difficulté ». Cherchez chaque réponse de tête ou sur papier, sans calculatrice, avant d’ouvrir le corrigé.

Les deux derniers exercices suivent le format des Conditions minimales. Jugez d’abord chaque information isolément, puis, si aucune ne suffit, les deux ensemble ; le calcul ne va au bout que s’il le faut pour trancher. Les cinq réponses sont définies à la page 37 du livret ; la réponse D, par exemple, vaut « si chaque information permet séparément de répondre à la question ».

Pour chaque exercice manqué, repérez la section du guide qui traite l’erreur commise et refaites ses exemples avant la série suivante. Si ces erreurs se mêlent à celles d’autres champs du Calcul, l’équipe propose en cours individuels un programme de révision établi après diagnostic.

Refaites la série plus tard en changeant les nombres et en gardant la structure : de nouveaux nombres obligent à refaire le raisonnement au lieu de reconnaître une réponse déjà vue. À l’exercice 2, une baisse de 25 % qui laisse 4 500 spectateurs mène à 6 000 ; à l’exercice 1, une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 20 % mène à une hausse de 20 %, puisque 1,5 × 0,8 = 1,2.

Questions fréquentes

Comment calculer deux hausses successives ?

Multipliez leurs coefficients. Une hausse de 10 % multiplie par 1,1 et une hausse de 30 % par 1,3 : les deux à la suite multiplient par 1,1 × 1,3 = 1,43, soit une hausse de 43 %. Additionner les taux donnerait 40 %, trop peu, car la seconde hausse s’applique à une valeur déjà augmentée. Sur une base de 100, on passe à 110, puis à 110 + 33 = 143.

Une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % s’annulent-elles ?

Non. Leurs coefficients, 1,2 et 0,8, ont pour produit 0,96 : la valeur finale se trouve 4 % sous la valeur de départ, parce que la baisse s’applique à une base plus grande que celle de la hausse. L’ordre ne change rien, puisque 0,8 × 1,2 = 0,96. Une hausse et une baisse de même taux font toujours baisser la valeur, d’autant plus que le taux est grand : de 1 % pour 10 %, de 9 % pour 30 %.

Comment retrouver un prix avant augmentation ?

Divisez le prix final par le coefficient de la hausse. Un prix passé à 230 après une hausse de 15 % valait 230 ÷ 1,15 = 200. Retrancher 15 % de 230 donnerait 195,50, un résultat faux, car les 15 % portaient sur l’ancien prix, plus petit que le nouveau. Contrôle : 15 % de 200 font 30, et 200 + 30 = 230.

Sources : FNEGE, site tagemage.fr, pages Sous-tests et Conseils ; livret du candidat (page de présentation sur tagemage.fr, document publié sur Calaméo), page 21 pour le sous-test Calcul et page 37 pour les Conditions minimales. Pages consultées le 18 octobre 2026.