Pour travailler les fractions au TAGE MAGE, identifiez d’abord ce que représente le tout. Simplifiez les rapports avant de calculer, distinguez une fraction d’un rapport entre deux groupes et vérifiez si les grandeurs sont directement ou inversement proportionnelles.
Fraction, proportion et rapport : identifier la référence
Une fraction peut représenter une partie d’un ensemble. Si trois élèves sur cinq sont inscrits, la proportion d’inscrits vaut 3/5, soit 60 %. Le dénominateur représente alors l’ensemble des cinq élèves.
Un rapport « trois inscrits pour deux non-inscrits » compare deux sous-ensembles. Il donne la même proportion d’inscrits : 3/(3 + 2) = 3/5. Utiliser 3/2 comme proportion de l’effectif total changerait la référence. Avant de poser une opération, écrivez donc ce qui figure au numérateur et au dénominateur.
Simplifier avant de multiplier ou de comparer
Dans (14/15) × (25/21), les facteurs communs se simplifient avant les produits : 14/21 = 2/3 et 25/15 = 5/3. Le résultat vaut 10/9. Les grands produits intermédiaires n’apportent rien à la compréhension.
Pour comparer 7/12 et 5/8, utilisez un dénominateur commun ou un produit en croix. Comme les dénominateurs sont positifs, comparer 7 × 8 = 56 à 5 × 12 = 60 montre que 7/12 < 5/8. Si les signes ne sont pas connus, il faut les examiner avant de multiplier une inégalité.
Retrouver un total à partir d’une partie
Si 3/5 d’un total vaut 45, le total vaut 45 ÷ (3/5), soit 45 × 5/3 = 75. Le retour à l’unité est souvent plus rapide : une part vaut 15 et cinq parts valent 75.
Le contrôle du résultat est immédiat : une partie inférieure au tout doit donner un total supérieur à 45. Un calcul qui annoncerait 27 aurait multiplié une nouvelle fois par 3/5 au lieu de revenir au total.
Reconnaître une proportionnalité inverse
Pour un travail fixé, avec des machines de même rendement, doubler le nombre de machines divise la durée par deux. Le produit « nombre de machines × durée » reste constant. Le raisonnement suppose un rendement identique et l’absence d’une autre contrainte limitante, comme une opération qui ne peut pas être partagée.
Dans un énoncé, ne choisissez pas automatiquement le produit en croix qui vous vient en premier. Demandez-vous dans quel sens le résultat doit varier. Plus de machines pour la même commande doit conduire à moins de temps sous les hypothèses données.
Six exercices corrigés
Ces exercices originaux portent sur les bases de calcul et les changements de référence. Cherchez la relation avant de regarder les choix ; ouvrez ensuite la correction pour vérifier chaque étape.
Exercice 1
Les trois cinquièmes de la capacité d’un réservoir représentent 45 litres. Quelle est sa capacité totale ?
- 60 litres
- 65 litres
- 70 litres
- 75 litres
- 90 litres
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Réponse D : 75 litres.
Un cinquième vaut 45 ÷ 3 = 15 litres. La capacité vaut donc 5 × 15 = 75 litres. Contrôle : 3/5 de 75 donne bien 45.
Exercice 2
De combien 5/8 dépasse-t-il 7/12 ?
- 1/12
- 1/24
- 1/8
- 1/6
- 1/48
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Réponse B : 1/24.
Avec le dénominateur 24 : 5/8 = 15/24 et 7/12 = 14/24. La différence vaut 1/24. Soustraire séparément les numérateurs et les dénominateurs ne conserve pas la valeur.
Exercice 3
Deux groupes comptent au total 64 personnes. Leurs effectifs sont dans le rapport 3 pour 5. Quel est l’effectif du plus petit groupe ?
- 18
- 21
- 24
- 30
- 40
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Réponse C : 24.
Le total représente 3 + 5 = 8 parts. Une part vaut 64 ÷ 8 = 8 personnes. Le petit groupe en compte 3 × 8 = 24 ; l’autre en compte 40.
Exercice 4
Six machines identiques réalisent une commande en dix heures. Elles travaillent au même rythme, sans temps de réglage. Combien de temps faut-il à dix machines pour la même commande ?
- 6 heures
- 8 heures
- 10 heures
- 12 heures
- 16 heures et 40 minutes
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Réponse A : 6 heures.
La commande représente 6 × 10 = 60 heures-machine. Dix machines la réalisent en 60 ÷ 10 = 6 heures. Le temps et le nombre de machines sont ici inversement proportionnels.
Exercice 5
Une personne dépense 3/8 de son budget, puis 2/5 de ce qui reste. Quelle fraction du budget initial lui reste-t-il ?
- 1/4
- 2/5
- 5/8
- 3/8
- 1/8
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Réponse D : 3/8.
Après la première dépense, il reste 5/8 du budget. La seconde dépense laisse 3/5 de ce solde : (5/8) × (3/5) = 3/8 du budget initial.
Exercice 6
On mélange 12 litres d’une solution contenant 30 % de produit actif avec 8 litres d’une solution qui en contient 55 %. Les volumes s’additionnent. Quelle est la concentration obtenue ?
- 35 %
- 37,5 %
- 40 %
- 42,5 %
- 45 %
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Réponse C : 40 %.
Le produit actif représente 12 × 0,30 + 8 × 0,55 = 3,6 + 4,4 = 8 litres. Le volume total vaut 20 litres. La concentration est 8/20 = 40 %. La moyenne simple des deux pourcentages donnerait 42,5 %, alors que les volumes diffèrent.
Les erreurs à repérer dans votre correction
Revenez à la référence lorsqu’un exercice combine deux fractions successives : « deux cinquièmes du reste » ne désigne pas deux cinquièmes du total initial. Dans un mélange, additionnez d’abord les quantités de produit et les volumes avant de calculer la proportion finale.
Si la relation est correcte mais les opérations lentes, reprenez les simplifications et les fractions usuelles avec les automatismes de calcul mental. Si le problème porte sur une évolution en pourcentage, travaillez les coefficients multiplicateurs.
Repères de l’examen consultés le 27 octobre 2026 : FNEGE — Les sous-tests · FNEGE — Comprendre son score. Méthodes et exemples d’entraînement : TAGE MAGE Étoile.
