Les critères de divisibilité, les décompositions en facteurs et les restes permettent de résoudre certains problèmes sans poser de grands calculs. Le choix dépend de la question : répartir en lots identiques, retrouver une coïncidence périodique ou vérifier une propriété d’un entier.
Utiliser un critère de divisibilité adapté
Un entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 10 s’il se termine par 0. Pour 3 et 9, regardez la somme de ses chiffres. Pour 4, regardez le nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Un nombre divisible par 3 et par 2 est divisible par 6. En revanche, être divisible par 4 et par 6 ne prouve pas qu’il est divisible par 24 : 12 est un contre-exemple. Les facteurs communs doivent être pris en compte.
Décomposer un entier en facteurs premiers
Une décomposition permet de lire les facteurs communs et ceux dont vous avez besoin pour former un multiple. Par exemple, 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7.
Le PGCD conserve les facteurs communs avec leurs plus petits exposants : 2 × 3 × 7 = 42. Le PPCM conserve tous les facteurs nécessaires avec leurs plus grands exposants : 2² × 3² × 7 = 252. Vérifiez le sens de ces deux nombres avant de les utiliser dans un problème.
Choisir entre PGCD et PPCM
Pour constituer le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les quantités, cherchez un diviseur commun aussi grand que possible : le PGCD. Le nombre d’objets de chaque type dans un lot est ensuite obtenu par division.
Pour trouver la première coïncidence de deux événements périodiques qui commencent ensemble, cherchez une durée multiple des deux périodes aussi petite que possible : le PPCM. Si les événements ne commencent pas ensemble, le seul PPCM des périodes ne règle plus automatiquement la question ; il faut tenir compte du décalage.
Raisonner sur les restes
Écrire n = 5k + 3 signifie que n laisse un reste de 3 dans la division par 5. Cette écriture permet de calculer le reste d’une expression en n sans connaître n. Réduisez toujours le reste à une valeur comprise entre zéro et le diviseur moins un.
Pour une puissance, commencez par chercher un cycle des chiffres des unités ou des restes. Vérifiez plusieurs termes et la longueur du cycle. Si l’exposant est un multiple exact de cette longueur, il correspond au dernier terme du cycle, pas à son premier.
Six exercices corrigés
Pour chaque question, notez d’abord si vous cherchez un diviseur, un multiple ou un reste. Cette décision évite de lancer un calcul qui ne répond pas à l’énoncé.
Exercice 1
Quel chiffre faut-il remplacer par a pour que le nombre 20a5 soit divisible par 9 ?
- 0
- 1
- 2
- 5
- 7
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Réponse C : 2.
La somme des chiffres vaut 2 + 0 + a + 5 = a + 7. Entre 7 et 16, le seul multiple de 9 est 9. Il faut donc a = 2, ce qui donne 2025.
Exercice 2
On dispose de 84 objets rouges et de 126 objets bleus. On veut constituer le plus grand nombre possible de lots identiques en utilisant tous les objets. Combien de lots obtient-on ?
- 14
- 21
- 28
- 42
- 63
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Réponse D : 42.
Le nombre de lots doit diviser 84 et 126. Leur plus grand diviseur commun est 42. Chaque lot contient alors 84/42 = 2 objets rouges et 126/42 = 3 objets bleus.
Exercice 3
Deux signaux se déclenchent ensemble à midi. L’un se déclenche ensuite toutes les douze minutes, l’autre toutes les dix-huit minutes. Après combien de minutes se déclenchent-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
- 24
- 30
- 36
- 48
- 72
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Réponse C : 36.
Il faut le plus petit multiple commun de 12 et 18. Avec 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3², le PPCM vaut 2² × 3² = 36. Le premier signal s’est déclenché trois fois après midi, le second deux fois.
Exercice 4
Un entier naturel n laisse un reste de 3 lorsqu’on le divise par 5. Quel reste laisse 2n + 1 dans la division par 5 ?
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
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Réponse C : 2.
Écrivez n = 5k + 3. Alors 2n + 1 = 10k + 7 = 5(2k + 1) + 2. Le reste est 2 ; il doit être compris entre 0 et 4.
Exercice 5
Quel est le chiffre des unités de 7 puissance 2026 ?
- 1
- 3
- 5
- 7
- 9
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Réponse E : 9.
Les unités des puissances de 7 suivent le cycle 7, 9, 3, 1. Le cycle a une longueur de quatre. Comme 2026 laisse un reste de 2 dans la division par 4, l’unité recherchée est la deuxième du cycle : 9.
Exercice 6
Le produit de trois entiers strictement positifs consécutifs est toujours divisible par quel nombre parmi les choix suivants ?
- 4
- 5
- 6
- 8
- 12
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Réponse C : 6.
Parmi trois entiers consécutifs, l’un est multiple de 3 et au moins un est pair. Le produit est donc multiple de 6. Le produit 1 × 2 × 3 = 6 montre que 4, 5, 8 et 12 ne conviennent pas comme propriété générale.
Vérifier une affirmation portant sur tous les entiers
Une propriété universelle se démontre ; quelques essais réussis ne suffisent pas. Un seul contre-exemple suffit en revanche à la réfuter. Le produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 6, mais pas toujours par 12 : le plus petit exemple positif suffit à montrer la différence.
Cette démarche est aussi utile en Conditions minimales. La fiche sur leurs pièges aide à chercher des cas compatibles qui donnent des réponses différentes.
Repères de l’examen consultés le 27 octobre 2026 : FNEGE — Les sous-tests · FNEGE — Comprendre son score. Méthodes et exemples d’entraînement : TAGE MAGE Étoile.
