Avant un calcul de probabilité, définissez les issues que vous comptez et vérifiez si elles sont équiprobables. Précisez ensuite si l’ordre compte, si un tirage se fait avec remise et si les événements sont indépendants. Ces hypothèses déterminent le calcul.
Définir les issues avant d’utiliser une fraction
Dans un ensemble fini d’issues équiprobables, une probabilité vaut le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues. L’équiprobabilité est une condition de cette formule de comptage, pas une conséquence du nombre de résultats possibles.
Avec deux dés équilibrés indépendants, les 36 couples ordonnés sont équiprobables. Les onze sommes possibles, de 2 à 12, ne le sont pas : la somme 2 ne correspond qu’au couple (1,1), tandis que la somme 7 correspond à six couples. Le choix des issues doit être cohérent au numérateur et au dénominateur.
Distinguer « et », « ou » et « au moins un »
Pour obtenir un premier événement puis un second, multipliez la probabilité du premier par la probabilité du second sachant que le premier s’est produit. En cas d’indépendance, cette seconde probabilité ne change pas.
Pour réunir deux événements, additionnez leurs probabilités puis retirez leur intersection si elle a été comptée deux fois. Pour « au moins un », l’événement contraire « aucun » est souvent plus simple à calculer. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble ; cela ne signifie pas qu’ils sont indépendants.
Avec ou sans remise : mettre à jour la situation
Sans remise, le premier tirage modifie la composition de l’urne. Avec quatre rouges parmi sept boules, tirer une rouge laisse trois rouges parmi six boules. Au second tirage, le numérateur et le dénominateur changent.
Avec remise et mélange, la composition initiale est rétablie. Vérifiez toujours cette hypothèse dans l’énoncé. Copier le même produit dans les deux situations est une erreur de modèle, même si le calcul des fractions est exact.
Compter des groupes ou des attributions de rôles
Choisir trois personnes pour un groupe et attribuer trois rôles différents ne produit pas le même nombre de possibilités. Dans le groupe, permuter les personnes ne crée pas une nouvelle sélection. Avec des rôles, la permutation change l’attribution.
Pour un petit effectif, vous pouvez compter les choix ordonnés puis diviser par le nombre d’ordres qui représentent le même groupe. Vérifiez aussi si une personne peut être choisie plusieurs fois ; les produits changent lorsque la répétition est autorisée.
Six exercices corrigés
Écrivez en une phrase le modèle de chaque question : issues, rôle de l’ordre, remise éventuelle et indépendance. Cette phrase doit justifier le calcul qui suit.
Exercice 1
Une urne contient quatre boules rouges et trois bleues, indiscernables au toucher. On tire deux boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux rouges ?
- 1/7
- 2/7
- 3/7
- 4/7
- 16/49
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Réponse B : 2/7.
La première boule est rouge avec une probabilité de 4/7. Il reste alors trois rouges sur six boules : la probabilité du second tirage rouge vaut 3/6. Le produit est 12/42 = 2/7.
Exercice 2
Avec la même urne, on remet la première boule avant le second tirage et on mélange. Quelle est la probabilité de tirer deux rouges ?
- 2/7
- 4/7
- 9/49
- 12/49
- 16/49
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Réponse E : 16/49.
Chaque tirage a une probabilité de 4/7 de donner une rouge. La remise rétablit la composition de l’urne. Le produit vaut (4/7)² = 16/49.
Exercice 3
On lance deux dés équilibrés et indépendants à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?
- 1/6
- 1/3
- 11/36
- 1/36
- 5/18
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Réponse C : 11/36.
La probabilité de n’obtenir aucun 6 est (5/6)² = 25/36. L’événement complémentaire a donc une probabilité de 1 − 25/36 = 11/36. Additionner 1/6 et 1/6 compterait deux fois le cas où les deux dés donnent 6.
Exercice 4
Combien de groupes de trois personnes peut-on former parmi six personnes distinctes, sans attribuer de rôle dans le groupe ?
- 18
- 20
- 36
- 60
- 120
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Réponse B : 20.
Un choix ordonné donnerait 6 × 5 × 4 = 120 possibilités. Chaque groupe apparaît dans 3 × 2 × 1 = 6 ordres. Le nombre de groupes est donc 120 ÷ 6 = 20.
Exercice 5
On attribue trois rôles différents à trois personnes distinctes choisies parmi six. Combien d’attributions sont possibles ?
- 20
- 36
- 60
- 90
- 120
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Réponse E : 120.
Six personnes peuvent recevoir le premier rôle, puis cinq le second et quatre le troisième. Les rôles rendent l’ordre significatif : 6 × 5 × 4 = 120 attributions.
Exercice 6
Deux dés équilibrés et indépendants à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que leur somme soit 9 ?
- 1/12
- 1/9
- 1/8
- 1/6
- 1/4
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Réponse B : 1/9.
Parmi les 36 couples ordonnés équiprobables, quatre conviennent : (3,6), (4,5), (5,4) et (6,3). La probabilité vaut 4/36 = 1/9. Les sommes de 2 à 12 ne sont pas équiprobables.
Contrôler une réponse et reprendre une erreur
Une probabilité appartient à l’intervalle de zéro à un. Avec l’événement contraire, les deux probabilités doivent totaliser un. Un tirage de deux rouges sans remise est ici moins probable qu’avec remise : la première rouge retire une rouge de l’urne.
Si le modèle était correct mais que les fractions bloquent, reprenez les fractions et les rapports. Si vous avez compté deux fois les mêmes cas, refaites un dénombrement explicite sur un effectif plus petit avant de revenir à la formule.
Repères de l’examen consultés le 27 octobre 2026 : FNEGE — Les sous-tests · FNEGE — Comprendre son score. Méthodes et exemples d’entraînement : TAGE MAGE Étoile.
